Бутылка Клейна и ее свойства

Что такое бутылка Клейна

Бутылка Клейна — определенная неориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем.

Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты – бутылку Клейна в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а еe поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве нельзя построить бутылку Клейна, поверхность которой была бы свободна от точек самопересечения.

Традиционный способ изображения бутылки Клейна: представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить.

Свойства бутылки Клейна

Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. Многообразие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4.
Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно.

Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса.

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:

Хроматическое число – хроматический номер бутылки Клейна – 6, а число Бетти равно 2.

2. Непрерывность.

3. Ориентируемость. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.